👤
GREENEYESCURLYHAIRZE
a fost răspuns

sa se demonstreze inegalitatea
1/(n+1)+1/(n+2)+......+1/2n>13/24 unde n€N*, n>2

Răspuns :

ALBATRANZE
 
Text corect;
unde n€N*, n≥2


verificam pt n=2
1/3+1/4=7/12=14/24>13/24
Presupunem adevarat pt n, n≥2
notam cu Sn  expresia pt n si cu Sn+1 expresia pt n+1

verificam pt n->n+1
 S n+1= 1/(n+2)+1/(n+3)+......1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)=
Sn -1/(n+1)+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2),
 atunci pt Sn+1 avem de demonstrat ca Sn+1>13/24

Sn+1=Sn+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=Sn+a(n), unde prin a(n) am notata numarul
1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)


 este sufiecient sa demonstram ca a(n)>0
 adica
1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)>0
dar
1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)>1/(2n+2)>1/(2n+2)+1/(2n+2)=3/(2(n+1))
deci
a(n)=1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)>3/(2(n+1)) -1/(n+1)=1/(2(n+1))>0
deci a(n) >0
atunci
Sn+1=Sn+a(n)
cum  Sn>13/24 si a(n) >0⇒Sn+1>13/24
asadar inegalitatea este demonstrata prin inductie matematica completa










Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari