21.
Ultima cifra a lui 3n pentru n∈N poate fi
{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
Deci u.c(3n+2)={2;3;4;5;6;7;8;9;0;1} printre care 2;3;7;8 nu sunt cifre de patrat perfect.
In concluzie radical din 3n+2 este irational pentru orice n∈N.
Ultima cifra a lui 4n pentru n∈N poate fi
{0;2;4;6;8}
Deci u.c(4n+3)={3;5;7;9;1} printre care 3;7 nu sunt cifre de patrat perfect.
In concluzie radical din 4n+3 este irational pentru orice n∈N.
Observatie :numerele de forma 3n+2 sau 4n+3 nu vor fi niciodata patrate perfecte pentru n∈N.
22.
√n²+n+1=√n²+2n+1-n=√(n+1)²-n
Pentru ca numarul √(n+1)²-n sa fie rational ar trebui ca (n+1)²-n sa fie patrat perfect ceea ce este imposibil pentru n∈N.
In concluzie √n²+n+1 este numar irational pentru orice n∈N.
