Presupun ca relatia este [tex]BD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB[/tex] Stim ca o mediana imparte triunghiul in 2 triunghiuri de arii egale [tex]A_{BCD}=A_{ABD}[/tex] Aria lui ABD poate fi scrisa ca [tex]A_{ABD}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}[/tex] BCD este un triunghi dreptunghic cu unghiul [tex]\angle{DBC}=90[/tex] atunci aria lui BCD poate fi scrisa ca produsul catetelor pe 2
[tex]A_{BCD}=\frac{BD*BC}{2}[/tex] Acum putem egala cele doua arii [tex]\frac{BD*BC}{2}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}\Rightarrow BC=AB*\sin{ABD}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}*\sin^{2}{ABD}[/tex] Acum aplicam teorema consinusului pentru unghiul ABD in triunghiul ABD [tex]\cos{ABD}=\frac{BD^{2}+AB^{2}-AD^{2}}{2BD*AB}\Rightarrow AD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}[/tex] Dar stim ca BD este mediana, D este mijlocul lui AC, atunci [tex]AD=CD[/tex] CD este ipotenuza triunghiului dreptunghic BCD deci avem [tex]CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}\Rightarrow BC^{2}=CD^{2}-BD^{2}=AD^{2}-BD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}-BD^{2}=AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}[/tex] Acum egalam cele doua forme de scriere ale lui BC^2 [tex]BC^{2}=AB^{2}\sin^{2}{ABD}=AB^{2}-2*\frac{\sqrt{3}}{4}AB*AB*\cos{ABD}=AB^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}AB^{2}\cos{ABD}\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}[/tex] Din ecuatia fundamentala a trigonometriei stim ca [tex]\sin^{2}{ABD}+\cos^{2}{ABD}=1\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\cos^{2}{ABD}[/tex] atunci [tex]1-\cos^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos^{2}{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle{ABD}=30[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!
