Răspuns :
[tex](1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2\ldots+C_n^n;\\(1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2\ldots+C_n^n.\\Dac\breve{a}\ le\ adun\breve{a}m\;membru\ cu\ membru,\ ob\c{t}inem:\\2^n=2\cdot(C_n^0+C_n^2+\ldots),\ deci\;C_n^0+C_n^2+\ldots=2^{n-1}.\\Pentru\;n=16\;te\;las\;pe\ tine\ s\breve{a}\;calculezi.\;Spor\;la\;treab\breve{a}.\\\\Green\;eyes.[/tex]
Binomul lui Newton este definit ca
[tex](x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}}[/tex]
Iar pentru cazul in care sunt scazute
[tex](x-y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}(-1)^{k}x^{n-k}y^{k}}[/tex]
Daca inlocuim pe x si y cu 1 avem
[tex](1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}1^{n-k}1^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+..+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}[/tex]
Iar in cazul In care inlocuim in a doua ecuatie cu 1 si 1 si presupunem ca n=2p
[tex](1-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}(-1)^{k}1^{n-k}1^{k}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...-C_{n}^{2p-1}+C_{n}^{2p}=0[/tex]
Deci observi ca la scadere atunci cand ai k impar, atunci (-1)^k devine negativ, deci termenii impari sunt scazuti. Deci daca aduni cele 2 forme ale binomului, termenii pari se dubleaza si cei impari se reduc unul cu altul
[tex](1+1)^{n}+(1-1)^{n}=2C_{n}^{0}+2C_{n}^{2}+2C_{n}^{4}+...+2C_{n}^{n}=2^{n}+0=2^{n}\Rightarrow C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n}=2^{n-1}[/tex]
Deci in cazul nostru
[tex]C_{16}^{0}+C_{16}^{2}+C_{16}^{4}+...+C_{16}^{16}=2^{16-1}=2^{15}[/tex]
[tex](x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}}[/tex]
Iar pentru cazul in care sunt scazute
[tex](x-y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}(-1)^{k}x^{n-k}y^{k}}[/tex]
Daca inlocuim pe x si y cu 1 avem
[tex](1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}1^{n-k}1^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+..+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}[/tex]
Iar in cazul In care inlocuim in a doua ecuatie cu 1 si 1 si presupunem ca n=2p
[tex](1-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}(-1)^{k}1^{n-k}1^{k}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...-C_{n}^{2p-1}+C_{n}^{2p}=0[/tex]
Deci observi ca la scadere atunci cand ai k impar, atunci (-1)^k devine negativ, deci termenii impari sunt scazuti. Deci daca aduni cele 2 forme ale binomului, termenii pari se dubleaza si cei impari se reduc unul cu altul
[tex](1+1)^{n}+(1-1)^{n}=2C_{n}^{0}+2C_{n}^{2}+2C_{n}^{4}+...+2C_{n}^{n}=2^{n}+0=2^{n}\Rightarrow C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n}=2^{n-1}[/tex]
Deci in cazul nostru
[tex]C_{16}^{0}+C_{16}^{2}+C_{16}^{4}+...+C_{16}^{16}=2^{16-1}=2^{15}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!