👤
VLAD1014ZE
a fost răspuns

daca t=sin2u, sa se calculeze in functie de t expresia E=tg patrat de u + ctg patrat de u

Răspuns :

[tex]t=sin2u\\ t=2\cdot sin\ u\cdot cos\ u\\ sin\ u\cdot cos\ u=\frac{t}{2}|()^2\\ sin^2 u\cdot cos^2u=\frac{t^2}{4}(1)\\ ...................................\\ E=tg^2u+ctg^2u\\ \\ E=\frac{sin^2u}{cos^2u}+\frac{cos^2u}{sin^2u}\\ \\ E=\frac{sin^4u+cos^4u}{sin^2u\cdot cos^2u} \\ \\ E=\frac{(sin^2u+cos^2u)^2-2sin^2u\cdot cos^2u}{sin^2u\cdot cos^2u}\\ \\ E=\frac{1-2\cdot \frac{t^2}{4}}{\frac{t^2}{4}}\\ \\ E=(1-\frac{t^2}{2})\cdot \frac{4}{t^2}\\ \\ Asadar:\boxed{E=\frac{4}{t^2}-2} [/tex]
Scriem ecuatiile pentru sin2u si cos2u
[tex]\sin{2u}=2\sin{u}\cos{u}\Rightarrow\sin^{2}{2u}=4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}[/tex]
[tex]\cos{2u}=2\cos^{2}{u}-1\Rightarrow(\cos(2u)+1)=2\cos^{2}{u}\Rightarrow (\cos(2u)+1)^{2}=4\cos^{4}{u}[/tex]
Impartim cele 2 ecuatii acum ridicate la patrat
[tex]\frac{\sin^{2}{2u}}{(\cos(2u)+1)^{2}}=\frac{4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}{4\cos^{4}{u}}=\frac{\sin^{2}{u}}{\cos^{2}{u}}=tg^{2}{u}[/tex]
Putem sa exprimam si cos2u cu ajutorul lui t
[tex]\sin^{2}{2u}+\cos^{2}{2u}=1\Rightarrow \cos^{2}{2u}=1-\sin^{2}{2u}=1-t^{2}\Rightarrow \cos{2u}=\sqrt{1-t^{2}}[/tex]
Deci obtinem ca
[tex]tg^{2}{u}=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}+1)^{2}}[/tex]
Expresia pentru cos2u mai poate fi scrisa si asa
[tex]\cos{2u}=1-2\sin^{2}{u}\Rightarrow(1-\cos(2u))=2\sin^{2}{u}\Rightarrow(\cos(2u)-1)^{2}=4\sin^{4}{u}[/tex]
Acum facem din nou raportul intre ele
[tex]\frac{\sin^{2}{2u}}{(\cos(2u)-1)^{2}}=\frac{4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}{4\sin^{4}{u}}=\frac{\cos^{2}{u}}{\sin^{2}{u}}=ctg^{2}{u}[/tex]
Deci rezulta ca
[tex]ctg^{2}{u}=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}-1)^{2}}[/tex]
Deci expresia E poate fi scrisa ca
[tex]E=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}+1)^{2}}+\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}-1)^{2}}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari