Răspuns :
MD este perpendicular pe planul ABCD. Atunci, MD este perpendicular si pe dreapta AD, de unde rezulta ca triunghiul MDA este dreptunghic cu MDA=90 grade, catetele DM si AD si ipotenuza AM
Atunci
[tex]AM^{2}=DM^{2}+AD^{2}[/tex]
MD este perpendicular si pe diagonala BD care face parte din planul ABCD. Atunci triunghiul MDB este dreptunghic cu MDB=90 grade, catetele BD si DM, si ipotenuza BM. Atunci
[tex]BM^{2}=DM^{2}+BD^{2}[/tex]
Dar BD este diagolnala in triunghiul ABCD, atunci triunghiul ABD este dreptunghic cu BAD=90 grade, catetele AD si AB si ipotenuza BD, deci putem scrie cu regula lui Pitagora
[tex]BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}[/tex]
Din ultimele 2 relatii rezulta atunci ca
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}[/tex]
Acum ne uitam la triunghiul MAB si vedem urmatoarea relatie
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=AM^{2}+AB^P2{[/tex]
Deci o latura la patrat din triunghi este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi. De aici, rezulta ca si MAB este triunghi dreptunghic cu unghiul MAB=90 si catetele AM si AB si ipotenuza MB. Stim ca unghiul MBA=45 grade, atunci stim ca triunghiul MAB este dreptunghic isoscel cu catetele egale, adica
[tex]AM=AB\Rightarrow AM^{2}=AB^{2}\Rightarrow MD^{2}+AD^{2}=AB^{2}[/tex]
Dreptunghiul ABCD mai are proprietatile:
BC=AD si AB=CD
CD apartine si ea planului ABCD, deci MD perpendicular pe CD, adica in triunghiul MDC este dreptunghic cu MDC=90 grade, catetel MD si CD si ipotenuza MC
[tex]MC^{2}=MD^{2}+CD^{2}=MD^{2}+AB^{2}[/tex]
Ne uitam acum la triunghiul MBC si avem
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AB^{2}+AD^{2}=MC^{2}+BC^{2}[/tex]
Ceea ce inseamna ca si triunghiul MBC este dreptunghic cu catetele MC si BC si ipotenuza BM
Cosinusul unui unghi in triunghi dreptunghic este
[tex]cos=\frac[cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{MBC}=\cos{60}=\frac{1}{2}=\frac{BC}{BM}=\frac{AD}{BM}\Rightarrow \frac{AD^{2}}{BM^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=4AD^{2}[/tex]
Dar am demonstrat mai sus ca:
[tex]AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}[/tex] Atunci
[tex]DM^{2}+AD^{2}+DM^{2}+AD^{2}=4AD^{2}\Rightarrow 2DM^{2}=2AD^{2}\Rightarrow AD=DM=12[/tex]
Si de aici putem afla si pe AB
[tex]AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}=12^{2}+12^{2}=2*12^{2}\Rightarrow AB=12\sqrt{2}[/tex]
In dreptunghi stim ca diagonalele sunt egale intre ele
AC=BD
Si atunci putem afla pe AC in functie de BD cu teorema lui Pitagora
[tex]AC^{2}=BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}=12^{2}+2*12^{2}=3*12^{2}\Rightarrow AC=12\sqrt{3}[/tex]
Atunci
[tex]AM^{2}=DM^{2}+AD^{2}[/tex]
MD este perpendicular si pe diagonala BD care face parte din planul ABCD. Atunci triunghiul MDB este dreptunghic cu MDB=90 grade, catetele BD si DM, si ipotenuza BM. Atunci
[tex]BM^{2}=DM^{2}+BD^{2}[/tex]
Dar BD este diagolnala in triunghiul ABCD, atunci triunghiul ABD este dreptunghic cu BAD=90 grade, catetele AD si AB si ipotenuza BD, deci putem scrie cu regula lui Pitagora
[tex]BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}[/tex]
Din ultimele 2 relatii rezulta atunci ca
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}[/tex]
Acum ne uitam la triunghiul MAB si vedem urmatoarea relatie
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=AM^{2}+AB^P2{[/tex]
Deci o latura la patrat din triunghi este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi. De aici, rezulta ca si MAB este triunghi dreptunghic cu unghiul MAB=90 si catetele AM si AB si ipotenuza MB. Stim ca unghiul MBA=45 grade, atunci stim ca triunghiul MAB este dreptunghic isoscel cu catetele egale, adica
[tex]AM=AB\Rightarrow AM^{2}=AB^{2}\Rightarrow MD^{2}+AD^{2}=AB^{2}[/tex]
Dreptunghiul ABCD mai are proprietatile:
BC=AD si AB=CD
CD apartine si ea planului ABCD, deci MD perpendicular pe CD, adica in triunghiul MDC este dreptunghic cu MDC=90 grade, catetel MD si CD si ipotenuza MC
[tex]MC^{2}=MD^{2}+CD^{2}=MD^{2}+AB^{2}[/tex]
Ne uitam acum la triunghiul MBC si avem
[tex]BM^{2}=DM^{2}+AB^{2}+AD^{2}=MC^{2}+BC^{2}[/tex]
Ceea ce inseamna ca si triunghiul MBC este dreptunghic cu catetele MC si BC si ipotenuza BM
Cosinusul unui unghi in triunghi dreptunghic este
[tex]cos=\frac[cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{MBC}=\cos{60}=\frac{1}{2}=\frac{BC}{BM}=\frac{AD}{BM}\Rightarrow \frac{AD^{2}}{BM^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=4AD^{2}[/tex]
Dar am demonstrat mai sus ca:
[tex]AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}[/tex] Atunci
[tex]DM^{2}+AD^{2}+DM^{2}+AD^{2}=4AD^{2}\Rightarrow 2DM^{2}=2AD^{2}\Rightarrow AD=DM=12[/tex]
Si de aici putem afla si pe AB
[tex]AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}=12^{2}+12^{2}=2*12^{2}\Rightarrow AB=12\sqrt{2}[/tex]
In dreptunghi stim ca diagonalele sunt egale intre ele
AC=BD
Si atunci putem afla pe AC in functie de BD cu teorema lui Pitagora
[tex]AC^{2}=BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}=12^{2}+2*12^{2}=3*12^{2}\Rightarrow AC=12\sqrt{3}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!