Răspuns :
La aceste exercitii, trebuie sa te gandesti cum sa grupezi termenii sumei astfel incat sa poti obtine divizorul respectiv.
De exemplu: 31=32-1 adica [tex]31=2^{5}-1[/tex] Deci daca ai putea sa grupezi cumva termenii incat sa obtii 31, atunci numarul ar fi divizibil cu 31.
In cazul nostru observi ca exponentul cel mai mare al lui 2:adica 2005, este un multiplu de 5. Deci poti sa grupezi termenii in sume separate de forma
[tex]2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}[/tex]
[tex]2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}+2^{10}=2^{5}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
.............................................................................
[tex]2^{1996}+2^{1997}+2^{1998}+2^{1999}+2^{2000}=2^{1995}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
[tex]2^{2001}+2^{2002}+2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}=2^{2000}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
Deci observi ca toate aceste sume separate sunt multipli ai primului grup de termeni deci putem scrie la final
[tex]A=(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})[/tex]
Dar prima suma de termeni poate fi calculata usor
[tex]2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4})=2(1+2+4+8+16)=2*31[/tex]
Deci la final
[tex]A=2*31*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})[/tex] care este evident divizibil cu 31.
De exemplu: 31=32-1 adica [tex]31=2^{5}-1[/tex] Deci daca ai putea sa grupezi cumva termenii incat sa obtii 31, atunci numarul ar fi divizibil cu 31.
In cazul nostru observi ca exponentul cel mai mare al lui 2:adica 2005, este un multiplu de 5. Deci poti sa grupezi termenii in sume separate de forma
[tex]2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}[/tex]
[tex]2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}+2^{10}=2^{5}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
.............................................................................
[tex]2^{1996}+2^{1997}+2^{1998}+2^{1999}+2^{2000}=2^{1995}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
[tex]2^{2001}+2^{2002}+2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}=2^{2000}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})[/tex]
Deci observi ca toate aceste sume separate sunt multipli ai primului grup de termeni deci putem scrie la final
[tex]A=(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})[/tex]
Dar prima suma de termeni poate fi calculata usor
[tex]2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4})=2(1+2+4+8+16)=2*31[/tex]
Deci la final
[tex]A=2*31*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})[/tex] care este evident divizibil cu 31.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!