Răspuns :
Prima bisectoare este reprezentata de dreapta care pleaca din origine si imparte primul cadran in 2 unghiuri de 45 de grade.Intersectia axelor OX si OY ale graficului formeaza 4 unghiuri drepte.Exercitiul face referire la 'prima bisectoare' care imparte primul unghi de 90 de grade, unde valorile functiilor sunt pozitive, in 2 unghiuri congruente.
Ecuatia unei drepte determinata de un punct si o panta este data de formula:
[tex]m(x-x_0)=y-y_0[/tex]
Punctul este originea graficului determinat de intersectia celor 2 axe si are coordonatele: O(0;0)
Pentru m=1 obtinem ecuatia bisectoarei ca fiind:
[tex]b: \ 1*(x-0)=y-0 \\\\ b: \ x=y \\\\ \underline{ b: \ \ x-y=0}[/tex]
Varful parabolei unei functii de gradul 2 este dat de relatia:
[tex]V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})[/tex]
Pentru ecuatia noastra avem:
[tex]V(-\frac{-(2m-1)}{2*m}; -\frac{[-(2m-1)]^2-4*m*(m-1)}{4*m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m}; - \frac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m};- \frac{1}{4m})[/tex]
Pentru ca varful parabolei sa se afle pe prima bisectoare este necesar ca ale varfului coordonate sa verifice ecuatia bisectoarei,astfel se inlocuieste x cu prima coordonata a varfului si y cu cea de-a 2a coordonata.
[tex]\frac{2m-1}{2m}-(-\frac{1}{4m})=0 \\\\ \frac{2m-1}{2m}^{(2}+\frac{1}{4m}=0 \\\\ 4m-2+1=0 \\\\ 4m=1 \\\\\\ \boxed{m=\frac{1}{4}}[/tex]
Ecuatia unei drepte determinata de un punct si o panta este data de formula:
[tex]m(x-x_0)=y-y_0[/tex]
Punctul este originea graficului determinat de intersectia celor 2 axe si are coordonatele: O(0;0)
Pentru m=1 obtinem ecuatia bisectoarei ca fiind:
[tex]b: \ 1*(x-0)=y-0 \\\\ b: \ x=y \\\\ \underline{ b: \ \ x-y=0}[/tex]
Varful parabolei unei functii de gradul 2 este dat de relatia:
[tex]V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})[/tex]
Pentru ecuatia noastra avem:
[tex]V(-\frac{-(2m-1)}{2*m}; -\frac{[-(2m-1)]^2-4*m*(m-1)}{4*m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m}; - \frac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m};- \frac{1}{4m})[/tex]
Pentru ca varful parabolei sa se afle pe prima bisectoare este necesar ca ale varfului coordonate sa verifice ecuatia bisectoarei,astfel se inlocuieste x cu prima coordonata a varfului si y cu cea de-a 2a coordonata.
[tex]\frac{2m-1}{2m}-(-\frac{1}{4m})=0 \\\\ \frac{2m-1}{2m}^{(2}+\frac{1}{4m}=0 \\\\ 4m-2+1=0 \\\\ 4m=1 \\\\\\ \boxed{m=\frac{1}{4}}[/tex]
Ecuația primei bisectoare este y = x, deci orice punct de pe prima bisectoare are coordonatele egale.
In cazul parabolei cu vârful pe prima bisectoare, vom avea:
[tex]\it x_V=y_V[/tex]
[tex]\it x_V = -\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{2m-1}{2m}[/tex]
[tex] y_V = - \dfrac{\Delta}{4a} =-\dfrac{(2m-1)^2-4m(m-1)}{4m}=-\dfrac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m} \\\;\\ =-\dfrac{1}{4m}[/tex]
[tex]\it x_V=y_V\Rightarrow-\dfrac{2m-1}{2m}=-\dfrac{1}{4m}\Rightarrow 4m-2=1\Rightarrow4m=1\Rightarrow m=\dfrac{1}{4} [/tex]
In cazul parabolei cu vârful pe prima bisectoare, vom avea:
[tex]\it x_V=y_V[/tex]
[tex]\it x_V = -\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{2m-1}{2m}[/tex]
[tex] y_V = - \dfrac{\Delta}{4a} =-\dfrac{(2m-1)^2-4m(m-1)}{4m}=-\dfrac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m} \\\;\\ =-\dfrac{1}{4m}[/tex]
[tex]\it x_V=y_V\Rightarrow-\dfrac{2m-1}{2m}=-\dfrac{1}{4m}\Rightarrow 4m-2=1\Rightarrow4m=1\Rightarrow m=\dfrac{1}{4} [/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!