👤
ANGELICUSZE
a fost răspuns

Rezolvati ecuatia: [tex] \sqrt{1+ \sqrt{x^2} }+ \sqrt{1-x}=1-x [/tex]
Mersi

Răspuns :

BSERZE
<=> √1+|x| + √1-x = 1-x
Avem 3 cazuri :
cazul 1: x<0
√1-x +√1-x = 1-x
2√1-x=1-x Impartim prin √1-x => √1-x = 2 . Ridicam la patrat => 1-x=4 =>x=-3
cazul 2: x>0
√1+x + √1-x = 1-x. Ridicam la patrat => 1+x+1-x+√(1-x)(1+x)=(1-x)² .Ridicam din nou la patrat => (1-x)(1+x)=(1-x)^4. Impartim prin (1-x) pentru ca observam ca x=1 nu este solutie a ecuatiei (deci putem face impartirea) => 1+x=(1-x)³ =>
1+x = -x³+3x²-3x+1 <=> x³-3x²+4x=0 => x(x²-3x+4) = 0 => x= 0 nu convine sau x²-3x+4=0. Avem delta = 9-16 =-7 => nu are ecuatii in R => ecuatia nu are solutii in R
cazul 3: x=0
Observam ca x=0 nu este solutie.
Deci singura solutie in R a ecuatiei este x = -3
Aici, conditiile de existenta conduc la o mai rapida solutionare

Membrii ecuatiei sunt numere pozitive, deci avem o mai mare marja de manevrabilitate.

[tex]\sqrt{1+\sqrt{x^2}} \ \textgreater \ 0, \forall x\in \mathbb{R}\ \ \ (*) [/tex]

Scriem ecuatia astfel:  


[tex]1-x= \sqrt{1-x} +\sqrt{1+\sqrt{x^2}} \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} 1-x\ \textgreater \ \sqrt{1-x}|_{\ : \sqrt{1-x}} \\\;\\ \sqrt{1-x} \ \textgreater \ 1 \Longrightarrow 1-x \ \textgreater \ 1 \Longrightarrow x \ \textless \ 0 . [/tex] 

Cu aceasta conditie de existenta, vom cauta numai solutii negative. 

Dupa cum s-a vazut, mai sus, se gaseste destul de rapid  x = -3, care va fi solutie unica.




Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Ne dorim ca informațiile furnizate să vă fi fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar pentru acces rapid, adăugați-ne la favorite!


Ze Lesson: Alte intrebari